Formalmente, la varianza minima si riferisce al problema di ottimizzazione che cerca di trovare i pesi ottimali di un portafoglio di attività che minimizzano la varianza del suo rendimento, sotto il vincolo di un rendimento atteso desiderato o di un altro vincolo lineare. Matematicamente, questo problema può essere formulato come un problema di programmazione quadratica, dove la funzione obiettivo è la varianza del portafoglio e i vincoli includono il rendimento atteso e la somma dei pesi delle attività uguale a 1. La soluzione fornisce i pesi ottimali per ogni attività nel portafoglio che minimizzano il rischio, rappresentato dalla varianza, per un dato livello di rendimento atteso.
L’importanza della varianza minima risiede nel suo ruolo centrale nella teoria moderna del portafoglio (MPT) di Markowitz. L’MPT suggerisce che gli investitori razionali dovrebbero cercare di massimizzare il rendimento atteso per un dato livello di rischio o, equivalentemente, minimizzare il rischio per un dato livello di rendimento atteso. La frontiera efficiente, un concetto chiave nell’MPT, è costruita proprio utilizzando la varianza minima come base. Ogni punto sulla frontiera efficiente rappresenta un portafoglio con la minima varianza per un dato livello di rendimento atteso.
In pratica, la varianza minima viene utilizzata per costruire portafogli ben diversificati. Ad esempio, immaginiamo un investitore che desidera un rendimento atteso del 10%. Utilizzando dati storici sui rendimenti di diverse attività (azioni, obbligazioni, immobiliare, ecc.), si può stimare la matrice di covarianza e i rendimenti attesi di queste attività. Risolvendo il problema di ottimizzazione della varianza minima, l’investitore può determinare la combinazione ottimale di queste attività che gli fornisce il rendimento desiderato del 10% con la minima varianza possibile. Questo portafoglio sarà meno volatile rispetto a un portafoglio costruito in modo casuale o senza considerare la correlazione tra le attività.
Nonostante i suoi vantaggi, la varianza minima presenta anche dei limiti. L’applicazione pratica richiede stime accurate dei rendimenti attesi e della matrice di covarianza, che possono essere difficili da ottenere con precisione. Inoltre, l’MPT si basa su assunzioni semplificative, come la normalità dei rendimenti, che potrebbero non essere sempre valide nel mondo reale. Infine, la varianza minima si concentra solo sul rischio di mercato, ignorando altri tipi di rischio, come il rischio di credito o il rischio operativo. Nonostante questi limiti, la varianza minima rimane uno strumento fondamentale nella gestione del portafoglio e nella costruzione di strategie di investimento efficienti.
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