Formalmente, una serie temporale {Xₜ} è detta stazionaria in senso debole (o stazionaria secondo covarianza) se la sua media E[Xₜ] è costante nel tempo, la sua varianza Var[Xₜ] è costante nel tempo e la sua autocovarianza Cov(Xₜ, Xₜ₊ₖ) dipende solo dal ritardo k e non dal tempo t. Una condizione più forte, la stazionarietà in senso stretto, richiede che la distribuzione di probabilità congiunta di qualsiasi sottoinsieme di osservazioni rimanga invariata nel tempo. In pratica, la stazionarietà in senso debole è più comunemente utilizzata nelle applicazioni finanziarie.
La stazionarietà è un’ipotesi fondamentale in molti modelli econometrici e finanziari. Molte tecniche statistiche, come l’analisi di regressione e l’analisi delle serie temporali (ad esempio, modelli ARMA e GARCH), richiedono che i dati siano stazionari per fornire stime valide e affidabili. Se una serie temporale non è stazionaria, le stime dei parametri possono essere distorte e le previsioni inaffidabili. Ad esempio, se si stima una regressione lineare su dati non stazionari, si potrebbe osservare una forte correlazione spuria tra le variabili, anche se non esiste una relazione causale effettiva. Consideriamo due serie temporali, una che rappresenta il prezzo di un’azione e l’altra il PIL di un paese. Entrambe tendono a crescere nel tempo, quindi non sono stazionarie. Una regressione tra queste due serie potrebbe mostrare una forte correlazione, ma ciò non implica una relazione causale.
Per verificare la stazionarietà, si utilizzano test statistici come il test di Dickey-Fuller aumentato (ADF) o il test di Phillips-Perron. Se una serie temporale non è stazionaria, si possono applicare trasformazioni per renderla stazionaria, come la differenziazione (calcolando la differenza tra osservazioni consecutive) o la trasformazione logaritmica. Ad esempio, se una serie temporale mostra una tendenza crescente, la differenziazione può rimuovere la tendenza e rendere la serie stazionaria. Consideriamo una serie temporale con valori {10, 12, 15, 18, 22}. La serie differenziata sarebbe {2, 3, 3, 4}. Si noti che la media e la varianza della serie differenziata sono meno influenzate dalla tendenza crescente rispetto alla serie originale.
Nonostante la sua importanza, l’ipotesi di stazionarietà è spesso una semplificazione della realtà. Molte serie temporali finanziarie, come i prezzi delle azioni o i tassi di cambio, mostrano cambiamenti strutturali nel tempo, rendendole non stazionarie. L’utilizzo di modelli che assumono stazionarietà su dati non stazionari può portare a risultati fuorvianti. È quindi cruciale testare attentamente la stazionarietà dei dati e considerare modelli più sofisticati se l’ipotesi di stazionarietà viene rifiutata. L’applicazione di tecniche robuste alla non-stazionarietà, come i modelli a cambiamenti di regime o le tecniche di analisi delle serie temporali non lineari, è spesso necessaria per una modellazione accurata dei mercati finanziari.
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