Formalmente, il rendimento medio di un investimento è il valore atteso del suo rendimento, calcolato come la somma dei prodotti di ciascun possibile rendimento per la sua probabilità di occorrenza. Se indichiamo con Rᵢ il rendimento i-esimo e con Pᵢ la sua probabilità, il rendimento medio (μ) è dato dalla formula: μ = Σᵢ (Rᵢ * Pᵢ). Questa formula si applica sia a distribuzioni discrete che continue, adattando la sommatoria ad un integrale nel secondo caso. Nel caso di un investimento con rendimenti passati noti, e assumendo che questi siano rappresentativi dei rendimenti futuri, il rendimento medio è semplicemente la media aritmetica dei rendimenti storici.
La comprensione del rendimento medio è fondamentale per la valutazione degli investimenti. Permette di confrontare la performance attesa di diversi asset e di valutare il rischio associato. Un investimento con un rendimento medio elevato è generalmente preferibile, a parità di altre condizioni. Ad esempio, consideriamo due investimenti: A con rendimenti possibili del 10% (probabilità 0.6) e -5% (probabilità 0.4), e B con rendimenti del 5% (probabilità 0.8) e -10% (probabilità 0.2). Il rendimento medio di A è (0.1*0.6) + (-0.05*0.4) = 0.04 o 4%, mentre quello di B è (0.05*0.8) + (-0.1*0.2) = 0.02 o 2%. Nonostante la maggiore volatilità, A presenta un rendimento medio superiore.
In pratica, il rendimento medio viene utilizzato in numerosi contesti, dalla costruzione di portafogli ottimali (utilizzando la teoria del portafoglio moderno) alla valutazione di opzioni e derivati. È un elemento chiave nei modelli di pricing, come il Capital Asset Pricing Model (CAPM), che utilizza il rendimento medio del mercato per determinare il rendimento atteso di un asset. Tuttavia, è importante ricordare che il rendimento medio da solo non fornisce una descrizione completa del rischio. Un investimento potrebbe avere un rendimento medio elevato ma anche un’elevata deviazione standard, indicando un rischio significativo.
I limiti del rendimento medio risiedono nella sua sensibilità alla presenza di valori anomali (outliers) e nella sua incapacità di catturare completamente la distribuzione dei rendimenti. Una distribuzione asimmetrica, ad esempio, potrebbe avere un rendimento medio che non rappresenta accuratamente la performance tipica. Per una valutazione più completa, è necessario considerare anche altre misure statistiche, come la deviazione standard, la skewness e la kurtosis, per ottenere un quadro più completo del profilo di rischio e rendimento dell’investimento. L’utilizzo congiunto di rendimento medio e deviazione standard, ad esempio, permette di valutare il rapporto rischio-rendimento.
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