Formalmente, la regressione stima i parametri di un modello che descrive la relazione tra una variabile dipendente, Y, e una o più variabili indipendenti, X. Il modello più comune è la regressione lineare, dove si assume una relazione lineare tra Y e X: Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + … + βₙXₙ + ε, dove β₀ è l’intercetta, β₁, β₂, …, βₙ sono i coefficienti di regressione che rappresentano l’effetto di ciascuna variabile indipendente su Y, e ε è il termine di errore che cattura la variabilità non spiegata dal modello. La stima dei parametri β viene effettuata minimizzando la somma dei quadrati degli errori (metodo dei minimi quadrati). Esistono diverse tipologie di regressione, come la regressione polinomiale, logistica e non lineare, a seconda della natura della relazione tra le variabili.
L’importanza della regressione in finanza quantitativa è fondamentale. Permette di modellare il rischio, prevedere i rendimenti degli asset, costruire strategie di trading e valutare l’efficacia di un portafoglio. Ad esempio, si potrebbe utilizzare una regressione lineare per modellare la relazione tra il rendimento di un’azione e il rendimento del mercato (regressione di mercato), ottenendo il beta dell’azione, un indicatore chiave del suo rischio sistematico. Se, ad esempio, otteniamo un’equazione Y = 0.01 + 1.2X, dove Y è il rendimento dell’azione e X è il rendimento di mercato, il beta è 1.2, indicando che l’azione è più volatile del mercato.
Nella pratica, la regressione viene applicata in numerosi contesti. Si può utilizzare per costruire modelli di pricing di opzioni (come il modello Black-Scholes, che utilizza una regressione implicita per stimare la volatilità implicita), per prevedere il default di un’obbligazione (utilizzando modelli di regressione logistica), o per ottimizzare un portafoglio scegliendo gli asset che massimizzano il rendimento per un dato livello di rischio (regressione con vincoli). L’interpretazione dei risultati richiede cautela, poiché la correlazione non implica causalità. Un’alta correlazione tra due variabili non significa necessariamente che una causa l’altra.
Nonostante i suoi vantaggi, la regressione presenta dei limiti. L’accuratezza delle previsioni dipende dalla qualità dei dati e dalla correttezza del modello scelto. La presenza di multicollinearità (alta correlazione tra le variabili indipendenti) può rendere difficile la stima dei parametri. Inoltre, la regressione assume che gli errori siano distribuiti normalmente e indipendentemente, ipotesi che potrebbero non essere sempre valide nella realtà. È quindi cruciale valutare attentamente la validità delle ipotesi del modello e la robustezza dei risultati prima di prendere decisioni di investimento basate su analisi di regressione.
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