Formalmente, un modello GARCH(p,q) specifica la varianza condizionale di una serie temporale come funzione autoregressiva di p errori al quadrato passati e q varianze condizionali passate. La sua equazione è data da: σ²t = ω + α₁ε²t-1 + … + αpε²t-p + β₁σ²t-1 + … + βqσ²t-q, dove σ²t è la varianza condizionale al tempo t, εt è l’errore (o innovazione) al tempo t, e ω, αi, e βj sono parametri non negativi. Il modello assume che gli errori siano distribuiti in modo indipendente e identicamente (i.i.d.), spesso con una distribuzione normale o student-t. La somma dei parametri αi e βj deve essere minore di 1 per garantire la stazionarietà della varianza condizionale.
L’importanza del GARCH risiede nella sua capacità di modellare la volatilità clustering, un fenomeno comune nei mercati finanziari dove periodi di alta volatilità tendono a seguire periodi di alta volatilità, e viceversa. A differenza dei modelli di volatilità costanti, GARCH cattura questa dipendenza temporale nella volatilità, fornendo previsioni più accurate e realistiche. Questo è cruciale per la gestione del rischio, l’ottimizzazione del portafoglio e la valutazione delle opzioni, dove la volatilità gioca un ruolo fondamentale.
Nella pratica, i modelli GARCH vengono utilizzati per prevedere la volatilità futura, ad esempio, per calcolare il Value at Risk (VaR) di un portafoglio. Consideriamo un esempio semplificato: un modello GARCH(1,1) con parametri stimati ω = 0.001, α₁ = 0.1, e β₁ = 0.8. Se l’errore al quadrato del periodo precedente è stato ε²t-1 = 0.04 e la varianza condizionale del periodo precedente è stata σ²t-1 = 0.02, la varianza condizionale prevista per il periodo corrente sarebbe σ²t = 0.001 + 0.1(0.04) + 0.8(0.02) = 0.025. Questa previsione può poi essere utilizzata per calcolare la deviazione standard condizionale (volatilità) e, di conseguenza, il VaR.
Nonostante i suoi vantaggi, GARCH presenta anche dei limiti. La sua performance può essere sensibile alla scelta dei parametri (p,q) e alla distribuzione degli errori. Inoltre, potrebbe non catturare adeguatamente eventi di volatilità estremi (code pesanti) o cambiamenti strutturali nella volatilità. Esistono varianti più sofisticate di GARCH, come EGARCH (Exponential GARCH) e GJR-GARCH (Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH), che cercano di affrontare alcuni di questi limiti, ma la scelta del modello più appropriato dipende dal contesto specifico e dalle caratteristiche dei dati.
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